Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b. (1)
Утверждение 1. Если a > 0, a ? 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.
Пример 1. Решить уравнения:
a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)
Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) или x = 1.
Приведем основные свойства логарифма.
Р1. Основное логарифмическое тождество:
где a > 0, a ? 1 и b > 0.
Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:
loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид
loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ? 1, N1·N2 > 0).
Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
(a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид
(a > 0, a ? 1, N1N2 > 0).
P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:
loga N k = k loga N (a > 0, a ? 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то
loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ? 1, N ? 0).
P5. Формула перехода к другому основанию:
(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1, N > 0),
в частности, если N = b, получим
(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1). (2)
Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства
(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (3)
(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (4)
(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (5)
и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место
(b > 0, a ? 0, |a| ? 1). (6)
Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x:
1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2 loga x1 > loga x2).
4. loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ? 1).
5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+?), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x ? (0;1) и отрицательна при x (1;+?).
6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.
Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.
Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ? 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)
f(x) = g(x),
f(x) = g(x),
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем
f(x) = g(x),
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
h(x) > 0,
h(x) ? 1,
h(x) ? 1,
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения
f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)
или
loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b
вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).
Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b. (1)
Утверждение 1. Если a > 0, a ? 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.
Пример 1. Решить уравнения:
a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)
Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) или x = 1.
Приведем основные свойства логарифма.
Р1. Основное логарифмическое тождество:
где a > 0, a ? 1 и b > 0.
Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:
loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид
loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ? 1, N1·N2 > 0).
Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
(a > 0, a ? 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид
(a > 0, a ? 1, N1N2 > 0).
P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:
loga N k = k loga N (a > 0, a ? 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то
loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ? 1, N ? 0).
P5. Формула перехода к другому основанию:
(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1, N > 0),
в частности, если N = b, получим
(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1). (2)
Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства
(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (3)
(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (4)
(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (5)
и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место
(b > 0, a ? 0, |a| ? 1). (6)
Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x:
1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2 loga x1 > loga x2).
4. loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ? 1).
5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+?), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x ? (0;1) и отрицательна при x (1;+?).
6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.
Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.
Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ? 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)
f(x) = g(x),
f(x) = g(x),
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем
f(x) = g(x),
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
h(x) > 0,
h(x) ? 1,
h(x) ? 1,
f(x) > 0,
g(x) > 0.
Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения
f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)
или
loga [f(x)·g(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b
вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).
Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.