Квадратным уравнением называют уравнение вида ахІ+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём, а?0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а - первый или старший коэффициент; b - второй или коэффициент при х; с - свободный член, свободен от переменной х.
Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1. хІ+рх+q=0 - стандартный вид приведенного квадратного уравнения
Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.
Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.
Обратите внимание: об ахІ речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.
Корнем квадратного уравнения ахІ+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ахІ+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ахІ+bх+с=0 - это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство.0=0.
Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Способы решения квадратных уравнений
1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.
2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.
3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.
4. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.
Все вышеперечисленные способы подробно разобраны в учебнике, поэтому на них я не буду останавливаться.
5. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Приведённые квадратные уравнения легко решать по теореме Виета. Достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным знаком.
Например, для уравнения x2-7x+12=0 Нужно найти числа, произведение которых равно 12, а сумма 7. Такими числами будут 3 и 4. Значит x1=3, x2=4
Но можно использовать этот метод и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице. Поясним на примере.
Допустим, нужно решить уравнение 3x2+2x-5=0
Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x2+2x-15=0
Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно - 15, а сумма равна - 2. Эти числа - 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент. Таким образом x1=-5/3, x2=1
6. СПОСОБ: Решение уравнений способом "переброски".
Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ? 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.
При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски". Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Решим уравнение 2х2 - 11х + 15 = 0.
Решение. "Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у2 - 11у + 30 = 0.
Согласно обратной теореме Виета
у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5
у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.
Ответ: х1=2,5; х2= 3.
7. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ? 0.
1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = - 1, х2 = - .
1. Решим уравнение 345х2 - 137х - 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то х1 = 1, х2 = = . Ответ: х1=1; х2 = - .
2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0
Решение. Т.к. a-b+с = 0 (132 - 247 +115=0), то
х1= - 1, х2= - Ответ: х1= - 1; х2= -
8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1; 0) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки.
Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.
В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.
Располагая материал по степени его сложности, начиная с самого простого, составил небольшой задачник, в него вошли уравнения, которые нужно решить разными способами, предложена краткая теория, примеры решения уравнений.
Способов решения квадратных уравнений очень много. Мы нашли 11 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ГИА. Для того чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом. А для этого нужны задания.
Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.
Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1. хІ+рх+q=0 - стандартный вид приведенного квадратного уравнения
Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.
Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.
Обратите внимание: об ахІ речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.
Корнем квадратного уравнения ахІ+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ахІ+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ахІ+bх+с=0 - это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство.0=0.
Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Способы решения квадратных уравнений
1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.
2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.
3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.
4. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.
Все вышеперечисленные способы подробно разобраны в учебнике, поэтому на них я не буду останавливаться.
5. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Приведённые квадратные уравнения легко решать по теореме Виета. Достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным знаком.
Например, для уравнения x2-7x+12=0 Нужно найти числа, произведение которых равно 12, а сумма 7. Такими числами будут 3 и 4. Значит x1=3, x2=4
Но можно использовать этот метод и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице. Поясним на примере.
Допустим, нужно решить уравнение 3x2+2x-5=0
Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x2+2x-15=0
Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно - 15, а сумма равна - 2. Эти числа - 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент. Таким образом x1=-5/3, x2=1
6. СПОСОБ: Решение уравнений способом "переброски".
Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ? 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.
При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски". Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Решим уравнение 2х2 - 11х + 15 = 0.
Решение. "Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у2 - 11у + 30 = 0.
Согласно обратной теореме Виета
у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5
у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.
Ответ: х1=2,5; х2= 3.
7. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ? 0.
1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = - 1, х2 = - .
1. Решим уравнение 345х2 - 137х - 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то х1 = 1, х2 = = . Ответ: х1=1; х2 = - .
2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0
Решение. Т.к. a-b+с = 0 (132 - 247 +115=0), то
х1= - 1, х2= - Ответ: х1= - 1; х2= -
8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1; 0) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки.
Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.
В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.
Располагая материал по степени его сложности, начиная с самого простого, составил небольшой задачник, в него вошли уравнения, которые нужно решить разными способами, предложена краткая теория, примеры решения уравнений.
Способов решения квадратных уравнений очень много. Мы нашли 11 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ГИА. Для того чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом. А для этого нужны задания.
Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.