Персональный сайт преподавателя Капина Артема Витальевича

Демонстрационный вариант

контрольных измерительных материалов

для проведения единого государственного экзамена

по МАТЕМАТИКЕ

 

 

Инструкция по выполнению работы

 

На выполнение экзаменационной работы по математике даётся
3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя  20 заданий.

Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

 

 

Желаем успеха!

 

Часть 1

 

Ответом на задания В1–В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

 

 

В2

 

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.

 

 

 

B3

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

 

 

 

 

B4

Строительная фирма планирует купить 70  пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Постав­щик	Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3 )	Стоимость доставки (руб.)	Дополнительные условия доставки
А	2 600	10 000	Нет
Б	2 800	8 000	При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная
В	2 700	8 000	При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная

 

B5

Найдите корень уравнения .

 

B6

Треугольник  вписан в окружность с центром . Найдите угол , если угол  равен .

 

B7

Найдите , если  и .

 

 

B8

На рисунке изображён график дифференцируемой функции . На оси абсцисс отмечены девять точек: .  Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции    отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

 

 

 

 

 

B9

Диагональ  основания правильной четырёхугольной пирамиды  равна 6. Высота пирамиды  равна 4. Найдите длину бокового ребра .

 

 

 

 

 

B10

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

 

 

B11

Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³).

 

 

B12

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой , где  – высота в метрах,  – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

 

 

B13

Весной катер идёт против течения реки в  раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в  раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

 

 

B14

Найдите наибольшее значение функции

 на отрезке .

 

 

 

Часть 2

 

Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

 

 

C1

а)  Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

 

 

С2

Сторона основания правильной треугольной призмы  равна , а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью  и плоскостью основания призмы.

 

 

С3

Решите систему неравенств

 

С4

На стороне BA угла , равного , взята такая точка D, что  и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

 

 

 

C5

 

 

Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

 

 

 

C6

 

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

 

Система оценивания экзаменационной работы по математике

 

Ответы к заданиям части 1

 

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

 

Задание	Ответ
В1	5
В2	5
В3	18
В4	192 000
В5	12
В6	64
В7	–0,8
В8	3
В9	5
В10	0,92
В11	9
В12	2,4
В13	5
В14	1

 

Ответы к заданиям части 2

 

Задание	Ответ
С1	а) , , б)
С2
С3
С4	1 или 7
С5
С6	а) 44; б) отрицательных; в) 17